Рассмотрим конусную многокритериальную задачу , где – пространство решений, – целевая вектор-функция (или целевой векторный критерий), ; – конус отношения предпочтения, задающий бинарное отношение предпочтения f по следующему правилу: U для , , .

Сформулирована и доказана теорема [1,3] о том, что бинарное отношение предпочтения, заданное на линейном пространстве и обладающее свойствами асимметричности, транзитивности и инвариантности относительно положительного линейного преобразования является конусным с острым выпуклым конусом, не содержащим нулевой элемент. Если же кроме перечисленных свойств бинарное отношение предпочтения f удовлетворяет аксиоме Парето, то указанный конус содержит неотрицательный ортант без нулевого элемента. Причем указанная теорема верна как для четкого, так и для нечеткого отношения предпочтения.

В случае, если отношение предпочтения известно не полностью и не точно, а только есть возможность оценить его (сверху или снизу), зная его свойства или используя дополнительную информацию об относительной важности одного критерия относительно другого, происходит постоянное уточнение конуса предпочтения путем добавления к нему новых образующих векторов. Этот подход описан в [2,3] и может быть распространен на случай поступления нечеткой дополнительной информации с последующим построением нечеткого конуса предпочтения и функции принадлежности соответствующего ему нечеткого отношения предпочтения m ; .

Обозначим через множество индексов. Пусть ; ; ; .

Группа критериев называется более важной, чем группа критериев с заданным набором положительных параметров и и степенью уверенности , если выполнение соотношений

, , , ;

,

,

влечет равенство .

Если ввести обозначение – множество векторов, у которых хотя бы одна компонента строго положительна и хотя бы одна строго отрицательна – то данное определение означает, что если , то допустимое решение является более предпочтительным, чем со степенью уверенности и наоборот.

Введем понятие нормированного коэффициента важности -го критерия относительно -го критерия

.

Число можно интерпретировать как степень важности одного критерия по сравнению с другим.

В случае, если подобного рода информация появилась один раз, отношение предпочтения строится как нечеткое отношение с функцией принадлежности равной 1, если и равной , если , но множеству принадлежит вектор , построенный по правилу:

;

;

;

,

где – новая размерность критериального пространства.

При таком подходе к учету дополнительной информации существенным является увеличение размерности критериального пространства путем отказа от менее важных критериев и появления новых критериев в виде линейных комбинаций более важных и менее важных критериев с использованием коэффициентов относительной важности. В то же время в новом критериальном пространстве нечеткий конус отношения предпочтения имеет неотрицательный ортант без нулевого элемента в качестве суппорта (множества, на котором функция принадлежности m имеет ненулевые значения). При этом размерность не изменится, если или изменится незначительно, если . Это обусловило интерес к следующему обобщению предложенного учета.

Пусть имеется стандартная многокритериальная задача . Будем считать, что поступила многократная нечеткая дополнительная информация: критерии по отдельности важнее одного и того же критерия с коэффициентами относительной важности и степенью уверенности , . Здесь ; , для всех . Тогда функция принадлежности нечеткого отношения предпочтения принимает ненулевые значения в следующих случаях:

если , то ;

если , но измененный вектор , где отличается от только координатой с номером (), то ;

если , , но измененный вектор , где отличается от и только координатой с номером по формуле

то ;

затем уточняется вектор с тремя ненулевыми координатами, из которых только одна отрицательная и она подлежит пересчету и т. д., пока не исчерпаются все возможности. Последний раз проверке на принадлежность подвергается вектор , который получается из вектора с положительными координатами на всех -ых местах и отрицательной на -м месте после пересчета -й координаты по формуле

При этом функция принадлежности определяется равенством .

1. Подиновский В.В., Ногин В.Д. (1982) Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. – М.: Наука.
2. Noghin V.D. (1994) Upper estimate for a fuzzy set of non-dominated solutions // Fuzzy Sets Syst., 67, 303–315.
3. Noghin V.D. (1997) Relative importance of criteria: a quantitative approach // J. Multi-Crit. Decis. Anal., 6, 355–363.